Apa itu Teorema Bayes?
Definisi: Teorema Bayes didefinisikan sebagai teorema yang membantu kita menghitung probabilitas suatu peristiwa sesuai pengetahuan sebelumnya tentang kondisi yang mungkin terkait dengan peristiwa tersebut.
Teorema Bayes adalah aturan yang sangat terkenal diikuti dalam probabilitas dan statistik untuk menentukan probabilitas bersyarat dari suatu peristiwa. Ini memberikan metode yang diikuti untuk menentukan probabilitas terjadinya suatu peristiwa mengingat peristiwa tertentu telah terjadi.
Misalnya, mencari peluang terambilnya bola berwarna merah untuk kedua kalinya dari sebuah kantong yang berisi tiga bola merah dan tiga bola hitam, dengan syarat bola merah diambil dan dimasukkan kembali pertama kali. Selain itu, peluang Anda untuk mendapatkan tempat parkir terkait dengan waktu serta tempat Anda parkir, dll.
Ini memberi kita rumus yang agak sederhana untuk menghitung probabilitas bersyarat. Sebagai contoh, jika ada dua kejadian A dan B, dan peluang total dari kedua kejadian tersebut berturut-turut adalah P(A) dan P(B).
Kemudian, peluang kejadian A terjadi, mengingat kejadian B juga telah terjadi dilambangkan dengan P(A|B).
Secara keseluruhan, teorema Bayes membantu Anda memiliki probabilitas sebenarnya dari suatu peristiwa berdasarkan informasi yang diberikan tentang tes.
Di sini, kejadiannya sangat berbeda dengan tes seperti saat Anda menjalani tes penyakit ginjal, akan berbeda dengan kejadian terkena penyakit ginjal. Selain itu, tes yang berbeda juga bisa cacat seperti jika seseorang telah memberikan tes positif, itu tidak memastikan bahwa dia benar-benar mengidap penyakit tersebut.
Mungkin ada kejadian langka dari tes yang memiliki tingkat positif palsu yang tinggi. Dalam situasi seperti itu, teorema Bayes akan mengambil hasil tes dan memeriksa probabilitas nyata bahwa tes tersebut telah mengidentifikasi peristiwa secara akurat atau tidak. Mari kita selami lebih dalam dunia teorema ini dan pahami apa itu dan bagaimana cara kerjanya-
Apa rumus Teorema Bayes?
Rumus yang digunakan untuk menemukan probabilitas bersyarat ini diberikan oleh teorema Bayes dan seperti yang telah disebutkan.
P(A)= Probabilitas terjadinya A
P(B)= Probabilitas terjadinya B
P(A? B)=Probabilitas A diberikan B
P(B? A)= Probabilitas B diberikan A
P(A? B))= Probabilitas terjadinya A dan B
Teorema Bayes juga dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk untuk tujuan tertentu. Salah satu versinya yang cukup populer dikaitkan dengan hasil bagi relevansi atau rasio probabilitas Rudolf Carnap (Carnap 1962, 466).
Ini adalah faktor PR(H, E) = PE(H)/P(H)
Dalam bentuk teorema khusus ini, probabilitas tak bersyarat dari H seharusnya dikalikan untuk mendapatkan probabilitasnya bersyarat pada E. Ini menunjukkan bahwa Teorema Bayes mirip dengan prinsip simetri sederhana untuk rasio probabilitas
Di mana menggunakan Teorema Bayes?
Sebagaimana dinyatakan di atas, teorema ini digunakan untuk menemukan probabilitas bersyarat dari suatu kejadian dengan kejadian lain. Jadi, ambil contoh dua peristiwa:
- A = ada awan hujan di langit
- B= Hari itu hujan
Kemudian, kita bisa mendefinisikan
- P(A)= peluang ada awan hujan di langit=0,2
- P(B)= peluang hujan dalam sehari=0,6
- P(A|B)= peluang terjadinya awan hujan di langit jika hari itu hujan = 0,9
- P(B|A)= peluang terjadinya hujan pada suatu hari bila ada awan di langit
Dua di atas adalah probabilitas bersyarat. Untuk menghitung salah satu dari ini, Anda perlu mengetahui yang lain dan probabilitas masing-masing dari keduanya. Kemudian Anda dapat menerapkan teorema untuk mendapatkan probabilitas bersyarat yang Anda butuhkan.
Misalnya, untuk menghitung P(B|A), Anda memerlukan P(A|B), P(A), dan P(B). Anda kemudian dapat menerapkan teorema Bayes sebagai berikut:
P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)
= 0,9*0,6/0,2
=0,27
Ini menunjukkan kepada kita bahwa peluang hujan pada suatu hari jika ada awan di langit adalah 0,27.
Aplikasi
Teorema Thomas Bayes dapat diterapkan pada berbagai masalah. Ini dapat digunakan untuk menentukan keakuratan tes yang diberikan set probabilitas lain yang diperlukan.
Diperlukan distribusi probabilitas sebelumnya untuk mengetahui probabilitas posterior. Probabilitas sebelumnya adalah probabilitas sebelum data baru dikumpulkan. Di sisi lain, Posterior adalah probabilitas yang direvisi dari peristiwa yang mengetahui informasi baru.
Dengan kata yang lebih sederhana, probabilitas posteriornya adalah P(A|B), yaitu probabilitas A mengingat bahwa B telah terjadi sebelum percobaan.
Rumusnya digunakan untuk melihat bagaimana kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dipengaruhi oleh beberapa kendala yang diberikan dan peristiwa yang telah terjadi.
Penamaan istilah yang digunakan dalam Teorema Thomas Bayes
Berbagai istilah yang digunakan dalam teorema ini telah diberi nama dengan tepat. Ini dia.
- P(A|B)= Probabilitas posterior: Ini adalah probabilitas bersyarat yang perlu kita temukan.
- P(A)= Probabilitas sebelumnya: Ini adalah probabilitas yang kita miliki sebelum percobaan.
- P(B|A)= Kemungkinan
- P(B)= Bukti
Dengan demikian, kita dapat menyatakan kembali teorema Bayes sebagai
Posterior = Kemungkinan * Sebelum / Bukti
Penyebut
Dalam rumus Teorema Bayes, Anda dapat melihat bahwa penyebutnya adalah probabilitas marjinal dari suatu peristiwa. Ini juga disebut probabilitas total dari suatu peristiwa, yang berarti bahwa ini adalah probabilitas peristiwa yang terjadi dalam setiap keadaan.
Probabilitas total dari kejadian tersebut seringkali tidak diketahui; yang diketahui adalah probabilitas bersyarat dari peristiwa yang terjadi dengan berbagai kendala.
- Probabilitas total kemudian dapat ditemukan dengan menggunakan rumus yang diberikan di bawah ini.
P(A)= P(A|E1)+P(A|E2)+P(A|E3)….
Di mana
E1, E2, E3 adalah peristiwa yang mungkin terjadi di masa lalu.
- Atau dapat diketahui dengan menggunakan
P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|bukan B) * P(bukan B)
Jika semua probabilitas bersyarat yang diperlukan diketahui
Sebagai contoh,
Dua Bola diambil dari sebuah kantong berisi tiga bola hitam, tiga bola merah, dan tiga bola kuning. Maka peluang terambil bola merah untuk kedua kalinya adalah P(R), dan akan diketahui dengan mengikuti langkah-langkah berikut:
- P(R|R’)= peluang bola kedua berwarna merah jika bola pertama berwarna hitam atau kuning
- P(R|R)= peluang bola kedua berwarna merah jika bola pertama berwarna merah.
Maka peluang total bola kedua berwarna merah diberikan oleh
P(R)= P(R|R’)+P(R|R)
Secara numerik,
P(R|R’)=?
P(R|R)=¼
Jadi, peluang terambilnya bola merah menjadi:
P(R)= ?+¼= ?
Contoh Tes Medis dalam Kehidupan Nyata menggunakan Teorema Bayes
Di sini kami memberi Anda contoh bagaimana teorema Bayes dapat diterapkan pada skenario dunia nyata. Contoh yang diberikan adalah area luas di mana teorema digunakan.
Umumnya tes medis untuk diagnosis berbagai penyakit tidak 100% akurat. Mungkin saja seseorang menderita suatu penyakit, dan tetap saja, tes tersebut menunjukkan laporan yang negatif. Atau bisa jadi orang tersebut tidak menderita penyakit, namun tes menunjukkan hasil yang positif. – Berarti mengalami kebingungan seputar false positive, false negative, atau true positive ketika Anda telah memberikan tes positif.
Ya, kedengarannya mengerikan, tetapi faktanya tidak ada yang 100% sempurna, begitu pula tes ini!
Di sini, dengan menggunakan data yang terkait dengan perangkat pengujian hipotetis untuk HIV, kami memiliki berbagai probabilitas yang diperlukan untuk mengetahui keakuratan perangkat tersebut.
Kami tahu bahwa perangkat pengujian terkadang memberikan hasil yang salah, tetapi kami perlu menemukan apakah jumlah hasil yang salah tersebut sangat tinggi untuk mempertanyakan keandalan pengujian? Jadi, di sini kita akan mencari tahu kemungkinan seseorang yang dites positif disukai atau tidak.
Alat penguji memberikan laporan dengan benar untuk 90% kasus positif, sedangkan 10% kasus positif lainnya tidak diketahui olehnya. Lebih lanjut, itu dapat menilai orang tersebut secara negatif jika dia negatif 99% dari waktu. Tapi, 1% orang dinyatakan positif meskipun berbahaya. Kita juga tahu bahwa hanya 0,1% dari total populasi yang menderita penyakit ini. Sekarang, seseorang dipilih secara acak dari populasi besar dan dinyatakan positif. Kita perlu menemukan kemungkinan orang tersebut positif HIV.
Biarkan E menjadi kejadian orang tersebut berubah menjadi positif HIV. E’ dengan demikian, kejadian dia HIV-negatif.
Biarkan A menjadi peristiwa laporan pengujian keluar menjadi positif.
Oleh karena itu, kami mensyaratkan kemungkinan seseorang yang mengidap HIV, mengingat dia telah dites positif. Ini berarti kita perlu mencari P(E|A).
Sekarang, kami memiliki probabilitas berikut.
P(E)= 0.1%=0.001=kemungkinan menderita HIV
P(E’)=0,999=kemungkinan tidak menderita HIV
P(A|E)=99%=0.99= kemungkinan orang menderita HIV karena laporannya juga mendiagnosisnya secara positif.
P(A|E’)= 1%=0.01= probabilitas seseorang tidak menderita HIV tetapi laporan mengetesnya secara positif.
Oleh karena itu menggunakan teorema Bayes,
P(E|A)={P(E)P(A|E)}/{ P(E)P(A|E)+ P(E )P(A|E )}
=0,083 (perkiraan)
Dengan demikian, kemungkinan seseorang yang dipilih secara acak dan dinyatakan positif HIV adalah 0,083, yaitu hanya 8,3%. Ini jelas menunjukkan bahwa tes tersebut tidak dapat diterima dan perlu dihentikan penggunaannya untuk diagnosis penyakit.
Perhitungan probabilitas terkait penyakit seperti itu biasanya dilakukan untuk menentukan kegunaan perangkat. Teorema Bayes memang memainkan peran penting di sini. Tapi, ini bukan satu-satunya area di mana Teorema Bayes digunakan.
Pikiran Akhir!
Teorema Bayes adalah teorema yang sangat umum digunakan dalam pembelajaran mesin untuk membuat prediksi berdasarkan data yang kita miliki sebelumnya. Ini juga membantu mengklasifikasikan data ke dalam berbagai kategori, sekali lagi melalui teknik pembelajaran mesin.
Yah, itu tidak hanya digunakan untuk perhitungan ilmiah tingkat tinggi. Ini juga digunakan untuk beberapa studi yang berbeda. Pernah bertanya-tanya bagaimana situs kencan internet itu memberi Anda pasangan yang paling cocok?
Yah, mereka menggunakan teorema Bayes untuk mengidentifikasi peluang Anda untuk cocok dengan orang tersebut, mengingat mereka sudah mengetahui kualitas yang Anda sukai di masa lalu!
Teorema Bayes juga digunakan dalam studi lingkungan untuk memprediksi berbagai akibat dari suatu kegiatan. Memprediksi kondisi kualitas air, memahami efek dari kampanye anti polusi, faktor apa yang berkontribusi terhadap polusi, sebenarnya memprediksi hampir semua hal melibatkan penggunaan teorema Bayes. Dengan demikian membentuk bagian penting dari teori probabilitas.
Apa pendapat Anda tentang pentingnya teorema yang diberikan oleh Thomas Bayes dalam menghitung probabilitas suatu peristiwa?
